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Autor: Pablo_Ledesma
Tema 4: Estabilidad Transitoria

Métodos de integración

Las ecuaciones diferenciales a resolver durante el análisis dinámico de la estabilidad de un sistema eléctrico son ecuaciones diferenciales ordinarias de la forma

$\displaystyle \frac{d \mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{x},t)$ (31)

donde $ \mathbf{x}$ es el vector de las variables de estado y $ t$ es la variable independiente (el tiempo). Las condiciones iniciales $ \mathbf{x}_0, t_0$ son conocidas y corresponden, bien a un régimen permanente antes de la perturbación calculado mediante un flujo de cargas, bien al estado final de una simulación anterior.

Los métodos empleados para resolver la ecuación 31 son variados, bien conocidos y su exposición detallada queda fuera de los objetivos de este texto. En general, pueden agruparse en dos categorías: métodos implícitos y métodos explícitos.

Los métodos explícitos
permiten calcular el vector de variables de estado en cada instante en función de las variables en instantes anteriores. El método más sencillo es el de Euler, que aplicado a una única ecuación $ \frac{dx}{dt} = f(x,t)$ consiste en calcular en cada instante

$\displaystyle x_{n+1} = x_{n} + \frac{dx}{dt}\vert_{x=x_n} \Delta t$ (32)

Dado que las propiedades del método de Euler son insatisfactorias tanto respecto a exactitud como a estabilidad numérica, en la práctica se usan otros métodos explícitos más avanzados, por ejemplo de tipo Runge-Kutta o Predictor-Corrector. La formulación precisa de estos métodos puede encontrarse fácilmente en textos especializados en ecuaciones diferenciales ordinarias.

Los métodos explícitos son los más utilizados por su facilidad de programación. Sin embargo, conviene señalar su limitación a la hora de representar simultáneamente fenómenos rápidos y lentos. La presencia en un sistema de constantes de tiempo pequeñas obliga a emplear pasos de integración pequeños para preservar la estabilidad de la integración numérica, mientras la presencia de constantes de tiempo grandes obliga a simular periodos de tiempo largos para observar la respuesta del sistema. La presencia simultánea de constantes de tiempo pequeñas y grandes conduce a sistemas matemáticamente ``rígidos'', que consumen grandes recursos de computación.

Los métodos implícitos
surgen como respuesta al problema de la representación de sistemas matemáticamente rígidos. El más conocido es la regla trapezoidal, cuya aplicación a una única ecuación diferencial $ \frac{dx}{dt} = f(x,t)$ consiste en el planteamiento de la ecuación de forma integral:

$\displaystyle x_1 = x_0 + \int_{t_0}^{t_1} f(x,\tau) d\tau$ (33)

y la posterior solución de la integral mediante su aproximación por trapecios de anchura $ \Delta t$. Así, el primer paso de integración sería

$\displaystyle x_1 = x_0 + \frac{\Delta t}{2} \left[ f(x_0,t_0) + f(x_1,t_1) \right]$ (34)

Como puede observarse, la incógnita $ x_1$ no está despejada y aparece en ambos miembros de la ecuación, razón por la que este tipo de métodos se llaman ``implícitos''. La rigidez del sistema a representar no afecta a la estabilidad de estos métodos de integración.

Pablo Ledesma 2012-01-01

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