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Autor: Pablo_Ledesma
Tema 4: Estabilidad Transitoria

Fundamento matemático del criterio de igualdad de áreas

La ecuación de oscilación de la máquina síncrona es

 

$\displaystyle \frac{d^2 \delta}{d t^2} = \frac{\omega_0}{2H} (P_m -P_e)$ (4)

 

 

Donde $ H$ es la constante de inercia, $ \omega_0$ la frecuencia de sincronismo, $ P_m$ la potencia mecánica entrante y $ P_e$ la potencia eléctrica saliente. Multiplicando en ambos miembros por $ 2 d \delta / d t$

 

$\displaystyle 2 \frac{d \delta}{d t} \frac{d^2 \delta}{d t^2} = \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} \frac{d \delta}{d t}$ (5)

 

 

o bien

 

$\displaystyle \frac{d}{d t} \left[ \frac{d \delta}{d t} \right]^2 = \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} \frac{d \delta}{d t}$ (6)

 

 

Integrando entre dos puntos cualquiera $ A$ y $ B$ otenemos

 

$\displaystyle \left[ \frac{d \delta}{d t} \right]^2_B - \left[ \frac{d \delta}{d t} \right]^2_A = \int_A^B \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} d \delta$ (7)

 

 

Busquemos dos puntos $ A$ y $ B$ en los que la derivada de la desviación angular $ \delta$ sea nula, para que el miembro de la izquierda sea también nulo. Uno de ellos puede ser el punto de funcionamiento inicial $ \delta_0$, puesto que al estar en régimen permanente la desviación angular permanece constante. El segundo punto, observando la figura 5, puede ser el punto $ c$, correspondiente a la desviación angular $ \delta_{max}$. Efectivamente, como hemos señalado en dicho punto la desviación angular ha alcanzado su valor máximo y comienza a decrecer, por lo que su derivada es nula. Por tanto, podemos escribir

 

$\displaystyle \int_{\delta_0}^{\delta_{max}} \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} d \delta = 0$ (8)

 

 

O bien, separando la integral en dos partes,

 

$\displaystyle \int_{\delta_0}^{\delta_1} \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} d \delta + \int_{\delta_1}^{\delta_{max}} \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} d \delta = 0$ (9)

 

 

y reordenando

 

$\displaystyle \int_{\delta_0}^{\delta_1} \frac{\omega_0 (P_m -P_e)}{H} d \delta = \int_{\delta_1}^{\delta_{max}} \frac{\omega_0 (P_e -P_m)}{H} d \delta$ (10)

 

 

El primer sumando es el área $ A_1$ rayada en la figura 5, y el segundo sumando es el área $ A_2$. Por tanto, la ecuación 10 indica que ambas áreas son iguales.

Esta conclusión se conoce como el criterio de igualdad de áreas, y permite, conociendo el punto de funcionamiento inicial y la perturbación aplicada, determinar gráficamente la oscilación máxima $ \delta_{max}$ y ayudar a evaluar la estabilidad del sistema sin recurrir a métodos numéricos de integración, como se verá en los siguientes ejemplos.

 

Pablo Ledesma 2012-01-01
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